Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
- $u = \frac{x + 1}{x - 1}$
Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{x - 1}\right]}}{\frac{x + 1}{x - 1}}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x + 1$
- $v = x - 1$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{x - 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x + 1}{x - 1}\right]}\,}}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}\,}}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\frac{\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 6 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(x - 1\right) - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,\left(x - 1\right) \;\Longrightarrow\; x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\left(x - 1\right)\,}}} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1\,}}} - \left(x + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 8 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 10 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\left(1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\left(1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 11 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$1 - 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - 0\right)\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\frac{x - 1 - \left(x + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x + 1\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; x + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x - 1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right) \cdot 1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\frac{x - 1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right)\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 13 — Klammer nach einem Minus auflösen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(b+c)=a-b-c,\quad a-(b-c)=a-b+c$$
Warum dieser Schritt? Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer.
Nur der geänderte Teil:
$x - 1 - \left(x + 1\right) \;\Longrightarrow\; x - 1 - x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1 - \left(x + 1\right)\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Klammer nach einem Minus auflösen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1 - x - 1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 14 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf
Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
Nur der geänderte Teil:
$x - 1 - x - 1 \;\Longrightarrow\; -1 - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x - 1 - x - 1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 15 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 16 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$
Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{-2}{\left(x - 1\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{-2}{\left(x - 1\right)^{2}}\,}}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\,}}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$$
Schritt 17 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$
Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{-\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}\,}}}$$
Schritt 18 — Doppelbruch auflösen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a/b}{c}=\frac{a}{b\cdot c},\quad \frac{a}{b/c}=\frac{a\cdot c}{b}$$
Warum dieser Schritt? Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren. So bleibt nur ein Bruchstrich übrig.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \cdot \frac{x + 1}{x - 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 1}}\,}}}$$
✨ Nach Doppelbruch auflösen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2} \cdot \frac{x + 1}{x - 1}}\,}}}$$
Schritt 19 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x - 1\right)^{2} \cdot \frac{x + 1}{x - 1} \;\Longrightarrow\; \frac{\left(x - 1\right)^{2}\,\left(x + 1\right)}{x - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)^{2} \cdot \frac{x + 1}{x - 1}\,}}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x - 1\right)^{2}\,\left(x + 1\right)}{x - 1}\,}}}}$$
Schritt 20 — Gemeinsamen Faktor kürzen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{\left(x - 1\right)^{2}\,\left(x + 1\right)}{x - 1} \;\Longrightarrow\; \left(x - 1\right)^{2 - 1}\,\left(x + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x - 1\right)^{2}\,\left(x + 1\right)}{x - 1}\,}}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)^{2 - 1}\,\left(x + 1\right)\,}}}}$$
Schritt 21 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\left(x - 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\left(x + 1\right)}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{2}{\left(x - 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\left(x + 1\right)}$$
Schritt 22 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x - 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)^{1}\,}}}\,\left(x + 1\right)}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)\,}}}\,\left(x + 1\right)}$$
Schritt 23 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x - 1\right)\,\left(x + 1\right) \;\Longrightarrow\; x\,x + x \cdot 1 - 1\,x - 1 \cdot 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)\,\left(x + 1\right)\,}}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,x + x \cdot 1 - 1\,x - 1 \cdot 1\,}}}}$$
Schritt 24 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$x\,x \;\Longrightarrow\; x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,x\,}}} + x \cdot 1 - 1\,x - 1 \cdot 1}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,}}} + x \cdot 1 - 1\,x - 1 \cdot 1}$$
Schritt 25 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$x \cdot 1 \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{x^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 1\,}}} - 1\,x - 1 \cdot 1}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\frac{2}{x^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - 1\,x - 1 \cdot 1}$$
Schritt 26 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,x \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{x^{2} + x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,x\,}}} - 1 \cdot 1}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\frac{2}{x^{2} + x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - 1 \cdot 1}$$
Schritt 27 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{x^{2} + x - x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 \cdot 1\,}}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\frac{2}{x^{2} + x - x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 28 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf
Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
Nur der geänderte Teil:
$x^{2} + x - x - 1 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + x - x - 1\,}}}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$-\frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} - 1\,}}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{2}{x^{2} - 1}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x - 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
- $\frac{x + 1}{x - 1}>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\left(x - 1\right)\,\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt