Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = \frac{1}{x}$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}}{\frac{1}{x}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]} \;\Longrightarrow\; -1\,x^{-1 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,x^{-1 - 1}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-1\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}}{\frac{1}{x}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{-1\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}}{\frac{1}{x}}$$
Schritt 5 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $-1\,x^{-2} \;\Longrightarrow\; -x^{-2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,x^{-2}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{-2}\,}}}}{\frac{1}{x}}$$
Schritt 6 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{-x^{-2}}{\frac{1}{x}}\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{x^{-2}}{\frac{1}{x}}\,}}}$$
Schritt 7 — Doppelbruch auflösen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a/b}{c}=\frac{a}{b\cdot c},\quad \frac{a}{b/c}=\frac{a\cdot c}{b}$$

Warum dieser Schritt? Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren. So bleibt nur ein Bruchstrich übrig.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x^{-2}}{\frac{1}{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{-2}\,x}{1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{-2}}{\frac{1}{x}}\,}}}$$
✨ Nach Doppelbruch auflösen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{-2}\,x}{1}\,}}}$$
Schritt 8 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $x^{-2}\,x \;\Longrightarrow\; x^{-2 + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-2}\,x\,}}}}{1}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-2 + 1}\,}}}}{1}$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-2 + 1 \;\Longrightarrow\; -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2 + 1\,}}}}}{1}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,}}}}}{1}$$
Schritt 10 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x^{-1}}{1} \;\Longrightarrow\; x^{-1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{-1}}{1}\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-1}\,}}}$$
Schritt 11 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $x^{-1} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-1}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{1}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
  • $\frac{1}{x}>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{1}{x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt