Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\ln\left(\mathrm{e}^{2\,x} + x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\mathrm{e}^{2\,x} + x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{2\,x} + x$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\mathrm{e}^{2\,x} + x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x} + x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{2\,x}$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x} + x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x} + x\right]}\,}}}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 4 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 7 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x} + 1}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\mathrm{e}^{2\,x} + x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x} + 1}{x + \mathrm{e}^{2\,x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt