Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\log_{10}{\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\log_{10}{\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\log_{ {b} }({u})\big) = \frac{u'}{{u}\,\ln({b})}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $b = 10$

Warum dieser Schritt? Wir wenden die Logarithmusregel für die angegebene feste Basis an. Im Zähler steht die noch offene innere Ableitung, im Nenner das Argument mal natürlicher Logarithmus der Basis.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{10}{\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x\,\ln\left(10\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x\,\ln\left(10\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(10\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\ln\left(10\right)\,}}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(10\right)\,x\,}}}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\ln\left(10\right)\,x}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\ln\left(10\right)\,x}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{\ln\left(10\right)\,x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{\log\left(10\right)\,x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt