Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x^{2} + 1}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Schritt 9 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2\,x\,}}}$$
Schritt 10 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right) \cdot 2\,x\,}}}}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\,}}}}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Schritt 12 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2} + 1>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt