Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)^{2} + \cos\left(x\right)^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2} + \cos\left(x\right)^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)^{2}$
  • $v = \cos\left(x\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2} + \cos\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 6 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \cos\left(x\right)$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\cos\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\cos\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\cos\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + 2\,\cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $2\,\cos\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) + \left(-2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) - 2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right) - 2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}$$
Endergebnis
$$0$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$0$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt