Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \frac{1 - x}{1 + x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1 - x}{1 + x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = 1 - x$
  • $v = 1 + x$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1 - x}{1 + x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1 - x}{1 + x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,}}}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\left(0 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Subtraktion von 0 aus Vereinfachung
📖 Regel
$$0-a=-a$$

Warum dieser Schritt? 0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.

Nur der geänderte Teil: $0 - 1 \;\Longrightarrow\; -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 - 1\right)\,}}}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}$$
✨ Nach Subtraktion von 0 aus
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,}}}\,\left(1 + x\right) - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 7 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $-1\,\left(1 + x\right) \;\Longrightarrow\; -\left(1 + x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(1 + x\right)\,}}} - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(1 + x\right)\,}}} - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 8 — Minus vor der Klammer auflösen Vereinfachung
📖 Regel
$$-(a+b)=-a-b,\quad -(a-b)=-a+b$$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen vor der Klammer ändert beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer.

Nur der geänderte Teil: $-\left(1 + x\right) \;\Longrightarrow\; -1 - x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(1 + x\right)\,}}} - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Minus vor der Klammer auflösen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - x\,}}} - \left(1 - x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 9 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x\right]}\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 10 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 11 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 12 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $0 + 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + 1\right)\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \left(1 - x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 13 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\left(1 - x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 1 - x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - x\right) \cdot 1\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{-1 - x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - x\right)\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 14 — Klammer nach einem Minus auflösen Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(b+c)=a-b-c,\quad a-(b-c)=a-b+c$$

Warum dieser Schritt? Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer.

Nur der geänderte Teil: $-1 - x - \left(1 - x\right) \;\Longrightarrow\; -1 - x - 1 + x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - x - \left(1 - x\right)\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Klammer nach einem Minus auflösen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - x - 1 + x\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 15 — Zahlen in der Summe zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+u+b=u+(a+b)$$

Warum dieser Schritt? Wir rechnen die reinen Zahlen der Summe zusammen. Die übrigen Summanden bleiben unverändert.

Nur der geänderte Teil: $-1 - x - 1 + x \;\Longrightarrow\; -2 - x + x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - x - 1 + x\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Zahlen in der Summe zusammenfassen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2 - x + x\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 16 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.

Nur der geänderte Teil: $-2 - x + x \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2 - x + x\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)$$
Schritt 17 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.

Nur der geänderte Teil: $\frac{-2}{\left(1 + x\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{\left(1 + x\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{-2}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{2}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)\,}}}$$
Schritt 18 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\,\left(-\frac{2}{\left(1 + x\right)^{2}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{2}{\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 19 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{2}{\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 20 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 + x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
  • $\frac{1 - x}{1 + x}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{-\frac{1}{x + 1} - \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}}}{2\,\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt