Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{\sqrt{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sqrt{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sqrt{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sqrt{x}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\sqrt{x}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{\sqrt{x}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sqrt{x}} \cdot 2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
Schritt 4 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $2\,\sqrt{\sqrt{x}} \cdot 2\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 4\,\sqrt{\sqrt{x}}\,\sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sqrt{\sqrt{x}} \cdot 2\,\sqrt{x}\,}}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\frac{1}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\sqrt{\sqrt{x}}\,\sqrt{x}\,}}}}$$
Schritt 5 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $4\,\sqrt{\sqrt{x}}\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 4\,\sqrt{x}\,\sqrt{\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\sqrt{\sqrt{x}}\,\sqrt{x}\,}}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{1}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\sqrt{x}\,\sqrt{\sqrt{x}}\,}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{\sqrt{x}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $\sqrt{x}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{4\,\sqrt{\sqrt{x}}\,\sqrt{x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt