Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$
  • $v = \sqrt[3]{x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
Schritt 3 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3} - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}}}$$
Schritt 6 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt