Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\tan\left(x\right)}{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\tan\left(x\right)}{x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \tan\left(x\right)$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\tan\left(x\right)}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Tangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}\,x^{2} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,x^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,x^{2}\,}}} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{4}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{x^{4}}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{x^{4}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\tan\left(x\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\tan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\tan\left(x\right) \cdot 2\,x\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\tan\left(x\right)\,}}}}{x^{4}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - 2\,x\,\tan\left(x\right)}{x^{4}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
  • $x^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\sec\left(x\right)^{2}}{x^{2}} - \frac{2\,\tan\left(x\right)}{x^{3}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt