Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{\frac{1}{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{2}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2} - 1}\,}}}$$
Schritt 2 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2} - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{2}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,x^{\frac{1}{2}}}\,}}}$$
Schritt 4 — Exponent ½ als Wurzel schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit dem Exponenten ½ ist die Quadratwurzel der Basis.

Nur der geänderte Teil: $x^{\frac{1}{2}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{\frac{1}{2}}\,}}}}$$
✨ Nach Exponent ½ als Wurzel schreiben
$$\frac{1}{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x}\,}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die allgemeine reelle Potenzregel wird für eine positive Basis verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt