Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{\frac{5}{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{5}{2}}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{5}{2}$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{5}{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{2}\,x^{\frac{5}{2} - 1}\,}}}$$
Schritt 2 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{5}{2} - 1 \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{5}{2}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{2} - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{5}{2}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x>0$ – Die allgemeine reelle Potenzregel wird für eine positive Basis verwendet.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{5\,x^{\frac{3}{2}}}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt