Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \mathrm{e}^{-2\,x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = -2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; -2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $-2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2 \cdot 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\right) \;\Longrightarrow\; -x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; -2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \left(-2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,x - 2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,x^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt