Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\sqrt[3]{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt[3]{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \sqrt[3]{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}$$
Schritt 5 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3} - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + x^{2}\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}}}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; x^{2} \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{2} \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{2}\,x^{-\frac{2}{3}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{2}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
Schritt 10 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3}\,x^{2}\,x^{-\frac{2}{3}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{2 + \left(-\frac{2}{3}\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{2}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{2 + \left(-\frac{2}{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 11 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + \left(-\frac{2}{3}\right) \;\Longrightarrow\; \frac{4}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + \left(-\frac{2}{3}\right)\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{4}{3}\,}}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}\,x^{\frac{4}{3}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{7\,x^{\frac{4}{3}}}{3}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt