Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2}\,\sin\left(x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,x^{2}\,\sin\left(x\right) + 2\,\mathrm{e}^{x}\,x\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\,x^{2}\,\cos\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt