Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\sqrt{1 - x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{1 - x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \sqrt{1 - x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{1 - x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 1 - x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(0 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Subtraktion von 0 aus Vereinfachung
📖 Regel
$$0-a=-a$$

Warum dieser Schritt? 0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.

Nur der geänderte Teil: $0 - 1 \;\Longrightarrow\; -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 - 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Subtraktion von 0 aus
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $-x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}} \;\Longrightarrow\; -\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\sqrt{1 - x} + \left(-\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\sqrt{1 - x} - \frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\sqrt{1 - x} - \frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 - x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\sqrt{1 - x}\,x - \frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt