Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{3}\,\cos\left(x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{-x}$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + x^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 6 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$x^{3}\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -x^{3}\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{3}\,\sin\left(x\right)\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 7 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \left(-x^{3}\,\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \left(-x^{3}\,\sin\left(x\right)\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 8 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
Schritt 9 — Ableitung eines negativen Terms
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$
Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Minus mal Minus ergibt Plus
Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$
Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) - \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Endergebnis
$$3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) - x^{3}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-x^{3}\,\sin\left(x\right) + 3\,x^{2}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt