Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\left(2\,x - 1\right)^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \left(2\,x - 1\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\left(2\,x - 1\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(2\,x - 1\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(2\,x - 1\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\left(2\,x - 1\right)^{2} \;\Longrightarrow\; \left(2\,x - 1\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\left(2\,x - 1\right)^{2}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 1\right)^{2}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x - 1$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\left(2\,x - 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(2\,x - 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x - 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; 2\,x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 1\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 1\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}$$
Schritt 7 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 2\,x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 10 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 11 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(2 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\left(2 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 12 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2 - 0 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 13 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,\left(2\,x - 1\right) \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,\left(2\,x - 1\right)\,}}}$$
Schritt 14 — Binomische Formel Vereinfachung
📖 Regel
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Warum dieser Schritt? Wir lösen das Quadrat einer Summe mit der binomischen Formel auf. Danach fassen wir zusammen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 1\right)^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Binomische Formel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x\right)^{2} - 2 \cdot 2\,x \cdot 1 + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)\,}}}$$
Schritt 15 — Potenz eines Produkts Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x\right)^{2}\,}}} - 2 \cdot 2\,x \cdot 1 + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,x^{2}\,}}} - 2 \cdot 2\,x \cdot 1 + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Schritt 16 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,x^{2} - 2 \cdot 2\,x \cdot 1 + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x^{2} - 2 \cdot 2\,x \cdot 1 + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Schritt 17 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2\,x \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2 \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,x \cdot 1\,}}} + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$4\,x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,x\,}}} + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Schritt 18 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 4\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,x\,}}} + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$4\,x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,}}} + 1^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Schritt 19 — Potenz der Zahl 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$1^a=1$$

Warum dieser Schritt? Die Basis 1 bleibt bei dieser Potenz gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $1^{2} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - 4\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1^{2}\,}}} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
✨ Nach Potenz der Zahl 1
$$4\,x^{2} - 4\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Schritt 20 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{2} - 4\,x + 1 + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{2} - 4\,x + 1 + 4\,x \cdot 2\,x - 4\,x \cdot 1\,}}}$$
Schritt 21 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $4\,x \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 8\,x\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x \cdot 2\,x\,}}} - 4\,x \cdot 1$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x\,x\,}}} - 4\,x \cdot 1$$
Schritt 22 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $8\,x\,x \;\Longrightarrow\; 8\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x\,x\,}}} - 4\,x \cdot 1$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x^{2}\,}}} - 4\,x \cdot 1$$
Schritt 23 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $4\,x \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 4\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + 8\,x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$4\,x^{2} - 4\,x + 1 + 8\,x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,}}}$$
Schritt 24 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{2} - 4\,x + 1 + 8\,x^{2} - 4\,x\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(4 + 8\right)\,x^{2} - 4\,x + 1 - 4\,x\,}}}$$
Schritt 25 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 + 8 \;\Longrightarrow\; 12$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(4 + 8\right)\,}}}\,x^{2} - 4\,x + 1 - 4\,x$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,}}}\,x^{2} - 4\,x + 1 - 4\,x$$
Schritt 26 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,x^{2} - 4\,x + 1 - 4\,x\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,x^{2} - \left(4 + 4\right)\,x + 1\,}}}$$
Schritt 27 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 + 4 \;\Longrightarrow\; 8$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$12\,x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(4 + 4\right)\,}}}\,x + 1$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$12\,x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,}}}\,x + 1$$
Endergebnis
$$12\,x^{2} - 8\,x + 1$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\left(2\,x - 1\right)^{2} + 4\,x\,\left(2\,x - 1\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt