Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\ln\left(x\right)^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \ln\left(x\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right)^{2} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\ln\left(x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\ln\left(x\right)^{2}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)^{2}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\ln\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\ln\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\ln\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\ln\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\ln\left(x\right)^{2} + x \cdot 2\,\ln\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2\,\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x \cdot 2\,\ln\left(x\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\ln\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x \cdot 2\,\ln\left(x\right)}{x}\,}}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,\ln\left(x\right)\,}}}}{x}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\ln\left(x\right)^{2} + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\ln\left(x\right)\,}}}}{x}$$
Schritt 10 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x} \;\Longrightarrow\; 2\,\ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\ln\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\ln\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\ln\left(x\right)^{2} + 2\,\ln\left(x\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\log\left(x\right)^{2} + 2\,\log\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt