Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\sqrt{1 - x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{1 - x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \sqrt{1 - x^{2}}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{1 - x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\sqrt{1 - x^{2}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{1 - x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\sqrt{1 - x^{2}}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{1 - x^{2}}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 1 - x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x^{2}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 - x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 - x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)$$
Schritt 7 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 9 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(0 - 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Subtraktion von 0 aus Vereinfachung
📖 Regel
$$0-a=-a$$

Warum dieser Schritt? 0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.

Nur der geänderte Teil: $0 - 2\,x \;\Longrightarrow\; -2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 - 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Subtraktion von 0 aus
$$\sqrt{1 - x^{2}} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(-2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,\left(-2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $-x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; -\frac{x \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{x \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
Schritt 13 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,x\,}}}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
Schritt 14 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,}}}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
Schritt 15 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}\right)$$
Schritt 16 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{1 - x^{2}} + \left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 - x^{2}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt