Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\sqrt{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \sqrt{\sin\left(x\right)}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\sqrt{\sin\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; \sqrt{\sin\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\sqrt{\sin\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{\sin\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \frac{x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\sin\left(x\right)>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\sqrt{\sin\left(x\right)} + \frac{x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt