Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\sqrt{x + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{x + 1}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \sqrt{x + 1}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\sqrt{x + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sqrt{x + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\sqrt{x + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sqrt{x + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\sqrt{x + 1} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\sqrt{x + 1}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x + 1}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x + 1$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\sqrt{x + 1} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\sqrt{x + 1} + x\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\sqrt{x + 1} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,}}}$$
Schritt 10 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\sqrt{x + 1} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\sqrt{x + 1} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\sqrt{x + 1} + \frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x + 1>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\sqrt{x + 1} + \frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt