Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\tan\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\tan\left(2\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \tan\left(2\,x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\tan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\tan\left(2\,x\right) \;\Longrightarrow\; \tan\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\tan\left(2\,x\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\tan\left(2\,x\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Tangens (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(u\right)=\frac{1}{\cos\left(u\right)^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens (Kettenregel)
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\tan\left(2\,x\right) + x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; x \cdot \frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\tan\left(2\,x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2\,}}}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; \frac{x \cdot 2}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{\cos\left(2\,x\right)^{2}} \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\tan\left(2\,x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x \cdot 2}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\tan\left(2\,x\right) + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,}}}}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\tan\left(2\,x\right) + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\tan\left(2\,x\right) + \frac{2\,x}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(2\,x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\tan\left(2\,x\right) + 2\,x\,\sec\left(2\,x\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt