Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $v = \mathrm{e}^{-x}$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung eines negativen Terms
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$
Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(-\left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 12 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 1\,\mathrm{e}^{-x} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 13 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,\mathrm{e}^{-x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}$$
Schritt 14 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - \left(x^{2} + x\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 15 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 1\right)\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 16 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 1\right)\,}}}\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$
Schritt 17 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,x\,\mathrm{e}^{-x} \;\Longrightarrow\; x\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$
Endergebnis
$$x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 1\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt