Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$-\frac{x^{4}}{8}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x^{4}}{8}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = \frac{x^{4}}{8}$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x^{4}}{8}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{4}}{8}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Durch eine Konstante teilen Umformung
📖 Regel
$$\frac{u}{c}=\frac{1}{c}\cdot u\quad(c\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Teilen durch eine Konstante entspricht dem Multiplizieren mit ihrem Kehrwert. Wir schreiben diesen Faktor zunächst ausdrücklich hin. Erst im nächsten Schritt wenden wir die Faktorregel an.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{4}}{8}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{8}\,x^{4}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{4}}{8}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Durch eine Konstante teilen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{8}\,x^{4}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = \frac{1}{8}$
  • $u = x^{4}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{8}\,x^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{8}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{8}\,x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{8}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 4$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; 4\,x^{4 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{8}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\frac{1}{8} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{4 - 1}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{8} \cdot 4\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{1}{8} \cdot 4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}$$
Schritt 6 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{8} \cdot 4\,x^{3}\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2}\,x^{3}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{1}{2}\,x^{3}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{x^{3}}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt