Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{5}{2\,x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{5}{2\,x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{5}{2\,x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 5$
  • $u = \left(2\,x^{2}\right)^{-1}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x^{2}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x^{2}$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x^{2}\right)^{-1}\right]} \;\Longrightarrow\; -1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x^{2}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$5\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]}\right)$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\left(-1 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-5 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,x\,}}}$$
Schritt 10 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-5 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2} \cdot 2 \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-20 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2}\,x\,}}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-20 \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2}\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-20\,x \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2}\,}}}$$
Schritt 12 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-20\,x \cdot \left(2\,x^{2}\right)^{-2}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{20\,x}{\left(2\,x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 13 — Potenz eines Produkts Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,\left(x^{2}\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{20\,x}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$-\frac{20\,x}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
Schritt 14 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{20\,x}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,\left(x^{2}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{20\,x}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{20\,x}{4\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$-\frac{20\,x}{4\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 16 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{20\,x}{4\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{20\,x}{4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Schritt 17 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

Nur der geänderte Teil: $\frac{20\,x}{4\,x^{4}} \;\Longrightarrow\; \frac{5\,x}{x^{4}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{20\,x}{4\,x^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5\,x}{x^{4}}\,}}}$$
Schritt 18 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{5\,x}{x^{4}} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{x^{4 - 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5\,x}{x^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{x^{4 - 1}}\,}}}$$
Schritt 19 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{5}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{5}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{5}{x^{3}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $2\,x^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{5}{x^{3}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt