Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = -2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; -2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $-2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2 \cdot 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\right)\,}}}$$
Schritt 5 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\,}}}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,}}}$$
Endergebnis
$$-2\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-2\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt