Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x \cdot 2^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x \cdot 2^{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 2^{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x \cdot 2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \cdot 2^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} \cdot 2^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} \cdot 2^{x} + x\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1 \cdot 2^{x} \;\Longrightarrow\; 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 \cdot 2^{x}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
  • $a = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die Basis ist konstant, der Exponent hängt von x ab. Die Potenz bleibt erhalten; hinzu kommen der natürliche Logarithmus der Basis und die Ableitung des Exponenten.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2^{x} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$2^{x} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2^{x} + x \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2^{x} + x \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2^{x} + x \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2^{x} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(2\right)\,x \cdot 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right)\,x \cdot 2^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$2^{x} + \ln\left(2\right)\,x \cdot 2^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2^{x}\,\log\left(2\right)\,x + 2^{x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt