Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \mathrm{e}^{x^{2} + 1}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2} + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 9 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,}}}$$
Schritt 12 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,}}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,}}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x^{2} + 1} + 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{x^{2} + 1}\,x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2} + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt